高斯分布是徑向?qū)ΨQ分布，其電場變化由下式給出：

r定義為距光束中心的距離，ω 0是振幅為軸上其值的 1/e 時的半徑。

這個方程的傅里葉變換也是高斯分布。如果我們要求解菲涅爾積分本身而不是夫瑯和費(fèi)近似，我們會發(fā)現(xiàn)高斯源分布在其通過光學(xué)系統(tǒng)的傳播路徑上的每個點(diǎn)都保持高斯分布。這使得可視化光學(xué)系統(tǒng)中任何一點(diǎn)的場分布變得特別容易。強(qiáng)度也是高斯分布的：

這種關(guān)系不僅僅是數(shù)學(xué)上的好奇，因為現(xiàn)在很容易找到具有高斯強(qiáng)度分布的光源：激光。大多數(shù)激光器自動振蕩，電場呈高斯分布。基本高斯也可以采用一些特定的多項式乘法器，并且仍然保持其自身的變換。這些場分布被稱為高階橫向模式，在大多數(shù)實(shí)用激光器中通常通過設(shè)計來避免。

高斯沒有明顯的邊界來賦予它像圓孔直徑這樣的特征維度，所以高斯大小的定義有些隨意。圖1顯示了氦氖激光器的高斯強(qiáng)度分布。

參數(shù) ω 0通常稱為高斯光束半徑，是強(qiáng)度降低到其軸向值或峰值的 1/e2 或 0.135 時的半徑。另一點(diǎn)需要注意的是半最大值的半徑，或 50% 強(qiáng)度，即 0.59ω 0。在 2ω 0或高斯半徑的兩倍處，強(qiáng)度是其峰值的 0.0003，通常完全可以忽略不計。

通過對從 0 到 r 的強(qiáng)度分布進(jìn)行積分，可以輕松獲得半徑 r 內(nèi)包含的功率 P(r)：

當(dāng)歸一化為光束的總功率 P(∞)(以瓦特為單位)時，曲線與強(qiáng)度曲線相同，但縱坐標(biāo)反轉(zhuǎn)。將近 100% 的功率包含在半徑 r = 2ω 0中。二分之一的功率包含在0.59ω 0以內(nèi)，只有大約10%的功率包含在0.23ω 0，強(qiáng)度降低了10%的半徑。以瓦特為單位的總功率 P(∞) 與軸上強(qiáng)度 I(0)(瓦特/平方米)的關(guān)系為：

由于光束面積小，軸上強(qiáng)度可能非常高。

在用非常小的孔徑切斷光束時應(yīng)小心。源分布將不再是高斯分布，遠(yuǎn)場強(qiáng)度分布將產(chǎn)生零點(diǎn)和其他非高斯特征。但是，如果孔徑的直徑至少為 3 或 4 ω 0，則這些影響可以忽略不計。

高斯光束通過光學(xué)系統(tǒng)的傳播幾乎可以像幾何光學(xué)一樣簡單地對待。由于高斯獨(dú)特的自傅里葉變換特性，我們不需要積分來描述強(qiáng)度分布隨距離的演變。橫向分布強(qiáng)度在系統(tǒng)中的每個點(diǎn)都保持高斯分布;只有高斯半徑和波前曲率半徑發(fā)生變化。想象一下，我們以某種方式在位置 x=0 處創(chuàng)建具有高斯分布和平面波前的相干光束。如圖 2 所示，光束尺寸和波前曲率隨 x 變化。

光束大小將增加，開始時緩慢，然后更快，最終與 x 成比例增加。在 x = 0 時無限大的波前曲率半徑將變?yōu)橛邢耷易畛蹼S x 減小。在某個時候它會達(dá)到最小值，然后隨著 x 的增大而增加，最終與 x 成正比。描述高斯光束半徑 ω(x) 和波前曲率半徑 R(x) 的方程為：

其中 ω 0是 x = 0 處的光束半徑，λ 是波長。整個光束行為由這兩個參數(shù)指定，并且因為它們出現(xiàn)在兩個方程中的相同組合中，所以它們通常合并為一個參數(shù) x R，即瑞利范圍：

事實(shí)上，正是在 x = x R處，R 具有最小值。

請注意，這些方程式也適用于 x 的負(fù)值。我們只是想象光束的來源在 x = 0;我們可以通過在某個 x < 0 處創(chuàng)建具有負(fù)波前曲率的較大高斯光束來創(chuàng)建相同的光束。我們可以使用透鏡輕松做到這一點(diǎn)，如圖 3 所示。

透鏡的輸入是直徑為 D 和波前曲率半徑的高斯，當(dāng)被透鏡修改時，將是 R(x)，由上面的等式給出，透鏡位于 -x 處，距束腰 x = 0. 該輸入高斯也將具有與之關(guān)聯(lián)的束腰位置和大小。因此，我們甚至可以通過復(fù)雜的光學(xué)系統(tǒng)推廣高斯傳播定律。

在透鏡、反射鏡和其他光學(xué)元件之間的自由空間中，束腰的位置和束腰直徑完整地描述了光束。當(dāng)光束通過透鏡、反射鏡或電介質(zhì)界面時，波前曲率會發(fā)生變化，從而在界面的輸出側(cè)產(chǎn)生新的腰部位置和腰部直徑值。

這些方程式，輸入值為 ω 和 R，允許通過任何光學(xué)系統(tǒng)跟蹤高斯光束，但有一些限制：光學(xué)表面需要是球面并且焦距不能太短，這樣光束的直徑就不會改變太多快速地。這些正是用于簡化幾何光學(xué)傳播的近軸限制的模擬。

事實(shí)證明，我們可以將這些定律放在一種形式中，就像用于幾何光線追蹤的 ABCD 矩陣一樣方便。但有一點(diǎn)不同：ω(x) 和 R(x) 不像 r 和 u 那樣以矩陣方式進(jìn)行光線追蹤變換;相反，它們通過復(fù)雜的雙線性變換進(jìn)行變換：

其中 q 是 ω 和 R 的復(fù)數(shù)復(fù)合：

從 q 的表達(dá)式可以看出，在束腰處(R = ∞ 且 ω = ω 0)，q 是純虛數(shù)且等于 ix R。如果我們知道一個束腰在哪里及其大小，我們可以在那里計算 q，然后使用雙線性 ABCD 關(guān)系在其他任何地方找到 q。要確定系統(tǒng)中各處光束的尺寸和波前曲率，您可以使用系統(tǒng)每個元素的 ABCD 值，并通過連續(xù)的雙線性變換跟蹤 q 通過它們。但是如果你只想要 q 的整體變換，你可以乘以矩陣形式的元素 ABCD 值，就像在幾何光學(xué)中所做的那樣，找到系統(tǒng)的整體 ABCD 值，然后應(yīng)用雙線性變換。

在大多數(shù)光學(xué)系統(tǒng)中仍然可以使用光斑大小和焦深的簡單近似值來選擇針孔直徑、將光耦合到光纖中或計算激光強(qiáng)度。只有當(dāng) f 數(shù)很大時才需要完整的高斯方程。

在距離束腰很遠(yuǎn)的地方，光束似乎從位于腰部中心的點(diǎn)源發(fā)散為球面波。請注意，考慮到大多數(shù)激光束的小面積，“大”距離意味著 x?x R和 通常非常易于管理。發(fā)散光束具有完整的角寬度 θ(同樣，由 1/e2 點(diǎn)定義)：

由于角度很小，我們調(diào)用了近似值 tanθ ≈ θ。由于原點(diǎn)可以近似為點(diǎn)光源，因此幾何光學(xué)將 θ 表示為透鏡上照明的直徑 D 除以透鏡的焦距。

其中 f/# 是鏡頭的攝影 f 值。

使這兩個表達(dá)式相等，我們可以根據(jù)輸入光束參數(shù)找到光束腰部直徑(有一些限制將在后面討論)：

我們還可以從上面的公式中找到焦點(diǎn)深度。如果我們將焦深(有點(diǎn)武斷)定義為 x 值之間的距離，其中光束比束腰處的光束大 √2 倍，那么使用 ω(x) 的方程式，我們可以確定重點(diǎn)：

使用這些關(guān)系，我們可以對采用高斯光束的光學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行簡單的計算。例如，假設(shè)我們使用 10 mm 焦距的透鏡來聚焦具有 1 mm 直徑光束的氦氖激光器 (632.8 nm) 的準(zhǔn)直輸出。焦斑的直徑為：

或約 8 微米。光束的焦深為：

或約 160 μm。如果我們將本例中的透鏡焦距更改為 100 mm，焦斑尺寸將增加 10 倍，達(dá)到 80 μm，即原始光束直徑的 8%。焦深將增加 100 倍，達(dá)到 16 毫米。但是，假設(shè)我們將鏡頭的焦距增加到 2,000 毫米。我們的簡單方程給出的“焦斑尺寸”將比原始光束大 200 倍，即 1.6 毫米，大 60%!問題不在于給出 ω(x) 和 R(x) 的方程式，而在于假設(shè)束腰出現(xiàn)在距透鏡的焦距處。對于弱聚焦系統(tǒng)，束腰不會出現(xiàn)在焦距處。

事實(shí)上，束腰位置的變化與我們在幾何光學(xué)中的預(yù)期相反：隨著鏡頭焦距的增加，腰部向鏡頭移動。然而，我們可以很容易地相信這種行為的極限情況，因為注意到無限焦距的透鏡(例如放置在準(zhǔn)直光束束腰處的平板玻璃)會產(chǎn)生一個新的束腰，而不是在無窮遠(yuǎn)處，而是在玻璃本身的位置。